最小二乘法求圆心

导出了一堆节点坐标，这些节点位于一个圆柱壳体上，如何根据这些节点坐标反推出圆柱的圆心坐标和半径？

$x,y$ $(a,b)$ $r$ ，则圆的方程为：

ax+by+c+x^2+y^2=0\\

根据最小二乘法拟合，目标函数为：

\sum e_i^2=\sum (ax_i+by_i+c+x_i^2+y_i^2)^2\\

$a,b,c$ 求导，令倒数为0，有：

\sum x_i(ax_i+by_i+c+x_i^2+y_i^2)=0\\<br>\sum y_i(ax_i+by_i+c+x_i^2+y_i^2)=0\\<br>\sum (ax_i+by_i+c+x_i^2+y_i^2)=0\\

展开：

\sum ax_i^2+\sum bx_iy_i+\sum cx_i+\sum (x_ix_i^2+x_iy_i^2)=0\\<br>\sum ax_iy_i+\sum by_i^2+\sum cy_i+\sum (x_i^2y_i+yiy_i^2)=0\\<br>\sum ax_i+\sum by_i+\sum c+\sum(x_i^2+y_i^2)=0\\

$a,b,c$ .


x
1
function [xc,yc,R]=Fitcircle2(x,y)
2
% x^2+y^2+a*x+b*y+c=0
3
4
n=length(x);
5
xx=x.*x;
6
yy=y.*y;
7
xy=x.*y;
8
9
A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy) sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];
10
B=[-sum(xx+yy);-sum(xx.*y+yy.*y);-sum(xx.*x+xy.*y)];
11
a=A\B;
12
xc = -0.5*a(1);
13
yc = -0.5*a(2);
14
R = sqrt(-(a(3)-xc^2-yc^2));
15
end